Законы Кирхгофа: закон токов и закон напряжений с решёнными примерами

Законы Кирхгофа — два основных правила, которые описывают, как распределяются токи и напряжения в электрической цепи. Первый закон Кирхгофа, закон токов (ЗТК, KCL), гласит: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Второй закон Кирхгофа, закон напряжений (ЗНК, KVL), гласит: если обойти замкнутый контур целиком, алгебраическая сумма встреченных напряжений равна нулю. Немецкий физик Густав Кирхгоф опубликовал эти два правила в 1845 году, ещё будучи студентом университета; сегодня на этих двух фразах держится любой анализ цепей — от одного светодиода до материнской платы твоего телефона.

Закон Ома описывает связь между напряжением, током и сопротивлением одного элемента, а законы Кирхгофа учитывают, как эти элементы соединены между собой. Вместе они позволяют решать цепи с несколькими ветвями и даже с несколькими источниками питания на бумаге с ручкой. В этой статье ты найдёшь понятия узла и контура, правило знаков, в котором путаются больше всего, три пошагово решённые схемы, эксперимент с проверкой законов измерениями на Arduino, ESP32 и Raspberry Pi Pico, проверку мультиметром и ошибки, которые студенты делают чаще всего.

Что такое законы Кирхгофа? Узлы, ветви и контуры

Прежде чем применять законы Кирхгофа, нужно правильно прочитать схему, и для этого хватит четырёх понятий. Узел — точка, где соединяются три элемента или больше; все ножки, вставленные в один ряд макетной платы, образуют один узел, потому что сопротивление идеального провода считается нулевым. Ветвь — участок между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток; в ветви может быть один элемент или несколько последовательных. Контур — замкнутый путь, который начинается в узле, идёт по ветвям и возвращается в тот же узел. Самые маленькие контуры, внутри которых нет других контуров, называют ячейками (элементарными контурами). Если читать электрические схемы пока трудно, сначала загляни в статью Как читать электрическую схему.

Первый закон Кирхгофа (ЗТК): сколько тока втекает, столько и вытекает

Формула закона токов — ΣI вх = ΣI вых. То же самое можно записать как ΣI = 0, если втекающие токи считать положительными, а вытекающие — отрицательными. За законом стоит сохранение заряда: электроны не могут накапливаться в узле или появляться из ниоткуда, поэтому сколько заряда втекает в точку, столько же в тот же момент должно из неё вытекать. Представь воду в трубах: если труба, по которой идёт 30 литров в минуту, раздваивается и по одной ветви течёт 10 литров, то по другой обязательно течёт ровно 20 литров. С электричеством то же самое: когда ток 30 mA разделяется на две ветви и одна из них потребляет 10 mA, другая потребляет 20 mA.

Закрепим на примере. В узел втекают I1 = 50 mA и I2 = 20 mA, вытекает I3 = 15 mA; ищем ток I4 в четвёртом проводе и предполагаем, что он тоже вытекает. По ЗТК 50 + 20 = 15 + I4, то есть I4 = 55 mA. Если бы мы предположили, что I4 втекает в узел, уравнение было бы 50 + 20 + I4 = 15 и получилось бы I4 = −55 mA. Знак минус — не ошибка: он просто говорит, что ток течёт против принятого направления. С этим законом в проектах на Arduino ты сталкиваешься каждый день: общий ток, выходящий с пина 5V платы, равен сумме токов всех датчиков, светодиодов и модулей на этой шине. Расчёт при выборе источника питания на самом деле и есть расчёт по ЗТК.

Второй закон Кирхгофа (ЗНК): сумма по замкнутому контуру равна нулю

Формула закона напряжений — ΣV = 0: при обходе замкнутого контура сумма подъёмов напряжения, которые дают источники, равна сумме падений напряжения на резисторах и других элементах. Это следует из закона сохранения энергии. Представь поход в горы: если подняться на холм и спуститься другими тропами туда, откуда начался путь, общее изменение высоты равно нулю. В цепи источник питания поднимает заряды на определённую «высоту», а резисторы и светодиоды шаг за шагом её расходуют; при возвращении в начальную точку сумма сходится к нулю.

У ЗНК есть два важных следствия. Первое: напряжения последовательно соединённых элементов в сумме дают напряжение источника. Если на трёх резисторах, последовательно подключённых к батарейке 9 V, падает 2 V, 3 V и 4 V, их сумма ровно 9 V. Второе: все ветви, подключённые параллельно между одними и теми же двумя узлами, находятся под одинаковым напряжением, потому что две такие ветви вместе образуют контур и напряжение, падающее на одной, обязано равняться напряжению, падающему на другой. Все правила из статьи Последовательное и параллельное соединение резисторов на самом деле частные случаи этих двух законов.

Правило знаков: выбор направлений, плюс и минус

Большинство ошибок с законами Кирхгофа связано со знаками. Правило простое, но применять его нужно последовательно. Сначала задай для каждой ветви направление тока и отметь его стрелкой на схеме; угадывать правильное направление не обязательно. Затем выбери для каждого контура направление обхода (обычно по часовой стрелке) и, обходя контур в этом направлении, записывай напряжение каждого встреченного элемента по таблице ниже. В этой статье принято так: подъёмы напряжения записываются со знаком плюс, падения — со знаком минус.

Как применять законы Кирхгофа вместе с законом Ома: пошагово

1. Нарисуй схему; обозначь узлы буквами (A, B…), дай имена резисторам и источникам и выбери GND опорным узлом.
2. Задай ток для каждой ветви (I1, I2, I3…) и покажи его направление стрелкой.
3. Если узлов n, запиши уравнение ЗТК для любых n − 1 из них.
4. Если ветвей b, запиши уравнение ЗНК для b − n + 1 независимых контуров (обычно это ячейки).
5. Запиши напряжения на резисторах как I × R по закону Ома, чтобы неизвестными остались только токи.
6. Реши систему уравнений методом подстановки или исключения; если работать в kΩ и mA, результаты сразу получаются в вольтах.
7. Проверь ответ: убедись, что ЗНК выполняется для контура, который не использовался, и что мощность, отдаваемая источниками, равна мощности, рассеиваемой на резисторах.

Почему именно столько уравнений? Ток каждой ветви — неизвестная величина, значит, неизвестных b. Если записать ЗТК для всех n узлов, последнее уравнение выводится из остальных, поэтому новую информацию дают только n − 1 из них. Оставшиеся b − (n − 1) уравнений даёт ЗНК. Метод узловых потенциалов и метод контурных токов, которые встречаются на занятиях, — это просто упорядоченное применение тех же двух законов: в методе узловых потенциалов ЗТК записывается через напряжения узлов, а в методе контурных токов ЗНК — через контурные токи ячеек. Ускорить арифметику помогут калькулятор закона Ома и калькулятор последовательного и параллельного соединения.

Пример 1: последовательная цепь из светодиода и резистора

Когда цифровой пин Arduino в состоянии HIGH, на нём 5 V. Подключаем к этому пину резистор 220 Ω, а к другому концу резистора — красный светодиод, катод которого идёт на GND. В цепи одна ветвь и один контур, поэтому достаточно одного уравнения ЗНК. Примем прямое напряжение красного светодиода Vf ≈ 2,0 V. Начнём с GND и обойдём контур по направлению тока: пин даёт +5 V, резистор −220 × I, светодиод −2,0 V. Уравнение: 5 − 220 × I − 2,0 = 0, откуда I = 3,0 / 220 = 13,6 mA. На резисторе падает 3,0 V, на светодиоде 2,0 V; вместе они равны 5 V источника.

В реальной цепи результат немного другой. Выходное напряжение пина Arduino Uno немного проседает, когда пин отдаёт ток; в этой цепи оно опускается примерно до 4,7–4,8 V, а ток получается около 12,5 mA. Прямое напряжение светодиода тоже зависит от цвета и тока. Но метод тот же: составляется уравнение Кирхгофа, а напряжение на резисторе записывается по закону Ома. Почему у светодиода нет постоянного сопротивления и почему его нужно рассматривать как почти постоянное падение напряжения, разобрано в статье Что такое светодиод?. Подходящий резистор для любого цвета можно за секунды подобрать в калькуляторе резистора для светодиода.

Пример 2: делитель напряжения с параллельными ветвями

Теперь цепь чуть ближе к реальности: питание 5 V сначала проходит через R1 = 1 kΩ и приходит в узел A. Из узла A выходят две ветви: одна идёт на GND через R2 = 2,2 kΩ, другая — через R3 = 3,3 kΩ. Это делитель напряжения, к нижнему резистору которого подключена нагрузка. Единственное неизвестное узловое напряжение — VA. Запишем ЗТК для узла A: ток, приходящий через R1, равен сумме токов, уходящих в R2 и R3. Если выразить токи через напряжение по закону Ома (в kΩ и mA), получится (5 − VA) / 1 = VA / 2,2 + VA / 3,3. Правая часть равна VA × 0,7576, поэтому уравнение превращается в 5 = VA × 1,7576 и VA ≈ 2,845 V.

Теперь проверим по ЗНК. В левой ячейке из источника, R1 и R2 (5 V → R1 → R2 → GND) получается 5 − 2,155 − 2,845 = 0. В правой ячейке из R2 и R3 напряжение на обоих резисторах одинаковое (2,845 V), и разность равна нулю; именно поэтому параллельные ветви находятся под одним напряжением. Тот же результат даёт и эквивалентное сопротивление: R2 ∥ R3 = 1,32 kΩ, общее 2,32 kΩ и 5 / 2,32 = 2,155 mA. Практический урок этого примера: пока R3 не подключён, на выходе делителя 5 × 2,2 / 3,2 ≈ 3,44 V, а после подключения нагрузки напряжение падает до 2,845 V. Формула делителя напряжения верна, только когда с его выхода не берётся ток; при добавлении нагрузки расчёт нужно переделать по ЗТК. Для быстрой проверки подойдёт утилита делителя напряжения.

Пример 3: цепь с двумя источниками и отрицательным током

Настоящая сила законов Кирхгофа видна в цепях, которые нельзя решить сворачиванием последовательных и параллельных участков. Слева источник V1 = 9 V подключён к общему узлу A через R1 = 1 kΩ; справа источник V2 = 5 V подключён к тому же узлу через R2 = 1 kΩ; от узла A к GND идёт нагрузочный резистор R3 = 2 kΩ. Минусовые выводы обоих источников на GND. Примем направления токов так: I1 и I2 текут от источников к A, а I3 — от A к GND. Узлов два (A и GND), ветвей три, поэтому запишем 1 уравнение ЗТК и 2 уравнения ЗНК (в kΩ и mA):

• ЗТК (узел A): I1 + I2 = I3
• ЗНК (левая ячейка): 9 − 1 × I1 − 2 × I3 = 0
• ЗНК (правая ячейка): 5 − 1 × I2 − 2 × I3 = 0

Если подставить I1 + I2 вместо I3, левая ячейка даёт 3 × I1 + 2 × I2 = 9, а правая 2 × I1 + 3 × I2 = 5. Умножь первое уравнение на 3, второе на 2, вычти одно из другого — получится 5 × I1 = 17, то есть I1 = 3,4 mA. Обратная подстановка даёт I2 = −0,6 mA и I3 = 2,8 mA. Отрицательный I2 показывает, что ток идёт не от источника 5 V к A, а от A в плюсовой вывод источника 5 V: источник 9 V питает нагрузку и вдобавок вталкивает 0,6 mA в источник 5 V. Проверим по балансу мощностей: V1 отдаёт 9 × 3,4 = 30,6 mW; R1 рассеивает 11,56 mW, R2 0,36 mW, R3 15,68 mW, а V2 поглощает 5 × 0,6 = 3 mW. В сумме снова 30,6 mW, значит, решение верное. Внешний контур, который не использовался, тоже сходится: 9 − 3,4 − 0,6 − 5 = 0.

Проверка законов Кирхгофа измерениями на Arduino

Чтобы увидеть теорию в эксперименте, объединим в одной цепи делитель напряжения и светодиод. От пина 5V через R1 = 330 Ω идём к точке A. Из точки A выходят две ветви: одна идёт на GND через R2 = 2,2 kΩ, другая — через R3 = 220 Ω к точке B и оттуда на анод красного светодиода; катод светодиода подключается к GND. Плата будет считывать напряжения в точках A и B через аналоговые входы, вычислять ток каждого резистора по закону Ома и показывать, выполняется ли ЗТК в узле A. Сначала прогноз: если считать светодиод постоянным падением 1,9 V и записать ЗТК для узла A, уравнение (5 − VA) / 330 = VA / 2200 + (VA − 1,9) / 220 даёт VA ≈ 2,96 V, I1 ≈ 6,2 mA, I2 ≈ 1,35 mA и I3 ≈ 4,8 mA.

1// Kirchhoff yasalarını ölçerek doğrulama / Verifying Kirchhoff's laws by measurement
2// Besleme -> R1 (330) -> A ; A -> R2 (2.2k) -> GND ; A -> R3 (220) -> B -> LED -> GND
3// Supply -> R1 (330) -> A ; A -> R2 (2.2k) -> GND ; A -> R3 (220) -> B -> LED -> GND
4
5#if defined(ARDUINO_ARCH_ESP32)
6const float VCC = 3.30;          // 3V3 pininde ölçtüğün gerilim / voltage you measured on 3V3
7const int PIN_A = 34;            // ADC1, yalnız giriş / ADC1, input only
8const int PIN_B = 35;
9float readVolts(int pin) {
10  return analogReadMilliVolts(pin) / 1000.0;   // kalibre edilmiş okuma / calibrated reading
11}
12#else
13const float VCC = 5.00;          // 5V pininde ölçtüğün gerilim / voltage you measured on 5V
14const int PIN_A = A0;
15const int PIN_B = A1;
16float readVolts(int pin) {
17  return analogRead(pin) * VCC / 1023.0;       // 10 bit ADC, referans 5V / 5V reference
18}
19#endif
20
21const float R1 = 330.0;          // ohm
22const float R2 = 2200.0;
23const float R3 = 220.0;
24
25float averageVolts(int pin) {    // 16 okumanın ortalaması / average of 16 readings
26  float sum = 0;
27  for (int i = 0; i < 16; i++) {
28    sum += readVolts(pin);
29  }
30  return sum / 16.0;
31}
32
33void setup() {
34  Serial.begin(115200);
35}
36
37void loop() {
38  float vA = averageVolts(PIN_A);
39  float vB = averageVolts(PIN_B);
40
41  float vR1 = VCC - vA;          // R1 gerilimi / voltage across R1
42  float vR2 = vA;                // R2 gerilimi / voltage across R2
43  float vR3 = vA - vB;           // R3 gerilimi / voltage across R3
44  float vLed = vB;               // LED gerilimi / voltage across the LED
45
46  float i1 = vR1 / R1 * 1000.0;  // Ohm kanunu, mA / Ohm's law, mA
47  float i2 = vR2 / R2 * 1000.0;
48  float i3 = vR3 / R3 * 1000.0;
49
50  // KAY: A düğümüne giren = çıkan / KCL: into node A = out of node A
51  Serial.print(F("I1 = "));
52  Serial.print(i1, 2);
53  Serial.print(F(" mA   I2 + I3 = "));
54  Serial.print(i2 + i3, 2);
55  Serial.print(F(" mA   fark / error = "));
56  Serial.print(i1 - i2 - i3, 3);
57  Serial.println(F(" mA"));
58
59  // KGY: dış çevre / KVL: outer loop
60  Serial.print(F("VR1 + VR3 + VLED = "));
61  Serial.print(vR1, 2);
62  Serial.print(F(" + "));
63  Serial.print(vR3, 2);
64  Serial.print(F(" + "));
65  Serial.print(vLed, 2);
66  Serial.print(F(" = "));
67  Serial.print(vR1 + vR3 + vLed, 2);
68  Serial.print(F(" V   kaynak / supply = "));
69  Serial.print(VCC, 2);
70  Serial.println(F(" V"));
71
72  // KGY: paralel kollar aynı gerilimde / KVL: parallel branches share one voltage
73  Serial.print(F("VR2 = "));
74  Serial.print(vR2, 2);
75  Serial.print(F(" V   VR3 + VLED = "));
76  Serial.print(vR3 + vLed, 2);
77  Serial.println(F(" V"));
78  Serial.println();
79  delay(2000);
80}

Код считывает каждую точку 16 раз и усредняет показания, что сглаживает мелкие колебания АЦП. На Arduino Uno функция analogRead() возвращает число от 0 до 1023, а опорным напряжением служит шина 5V, так что один шаг равен примерно 4,9 mV. В части для ESP32 функция analogReadMilliVolts() сразу возвращает откалиброванное значение в милливольтах; GPIO 34 и 35 — пины только для ввода, относящиеся к блоку ADC1, который продолжает работать и при включённом Wi-Fi. Благодаря строке #if один и тот же код компилируется на обеих платах. Если в мониторе порта выставить скорость 115200 бод, на Uno появится строка примерно такого вида: «I1 = 6.17 mA I2 + I3 = 6.17 mA». Погрешность ЗТК близка к нулю, но не равна ему в точности; обычно она меньше 0,3 mA и возникает из-за допуска резисторов 1–5% и величины шага АЦП. На ESP32 при 3,3 V ток I1 около 3,1 mA, и светодиод светится тусклее.

Тот же эксперимент на Raspberry Pi Pico (MicroPython)

На Pico питай цепь от пина 3V3(OUT); точку A подключи к GP26, а точку B — к GP27. АЦП Pico через read_u16() возвращает значение от 0 до 65535, а опорное напряжение у него около 3,3 V, поэтому сырое значение, умноженное на 3,3 и делённое на 65535, даёт напряжение. При 3,3 V на резисторы остаётся меньше напряжения, поэтому токи меньше: если принять светодиод за 1,8 V, ожидай VA ≈ 2,26 V, I1 ≈ 3,1 mA, I2 ≈ 1,0 mA и I3 ≈ 2,1 mA. Если Pico ещё не настроена, пройди шаги с Thonny из статьи Что такое Raspberry Pi Pico?.

1from machine import ADC, Pin
2import time
3
4VCC = 3.3                          # 3V3(OUT) pininde ölçtüğün gerilim / voltage you measured on 3V3(OUT)
5R1, R2, R3 = 330, 2200, 220        # ohm
6adc_a = ADC(Pin(26))               # GP26 = ADC0, A noktası / node A
7adc_b = ADC(Pin(27))               # GP27 = ADC1, B noktası / node B
8
9def volts(adc):
10    total = 0
11    for _ in range(16):            # 16 okumanın ortalaması / average of 16 readings
12        total += adc.read_u16()
13    return total / 16 * VCC / 65535
14
15while True:
16    v_a = volts(adc_a)
17    v_b = volts(adc_b)
18    i1 = (VCC - v_a) / R1 * 1000   # Ohm kanunu, mA / Ohm's law, mA
19    i2 = v_a / R2 * 1000
20    i3 = (v_a - v_b) / R3 * 1000
21    # KAY: A düğümüne giren = çıkan / KCL: into node A = out of node A
22    print("I1 = {:.2f} mA  I2 + I3 = {:.2f} mA  fark / error = {:.3f} mA".format(i1, i2 + i3, i1 - i2 - i3))
23    print("VR1 = {:.2f} V  VR2 = {:.2f} V  VR3 = {:.2f} V  VLED = {:.2f} V".format(VCC - v_a, v_a, v_a - v_b, v_b))
24    time.sleep(2)

Экспериментальная проверка мультиметром

Мультиметр позволяет увидеть законы Кирхгофа прямым измерением, без единой строчки кода. Для ЗНК поставь переключатель на постоянное напряжение (DCV); сначала измерь напряжение источника, затем по очереди напряжение каждого элемента в контуре. Если всегда ставить красный щуп на вывод, который идёт первым по направлению обхода, а чёрный — на следующий, знаки автоматически получаются правильными. Для ЗТК цепь нужно разорвать: вставь красный провод в гнездо mA, разъедини измеряемую ветвь в одной точке и включи мультиметр последовательно в этот разрыв. Более практичный способ — измерить напряжение на резисторе и разделить его на номинал, чтобы получить ток; так цепь вообще не приходится разрывать. Диапазоны и предохранитель подробно разобраны в статье Как пользоваться мультиметром.

Не жди, что измерения точно совпадут с расчётом: расхождения 2–5% — это нормально. Причин четыре: допуск резисторов (5% у резисторов с золотой полосой, 1% — с коричневой), собственная точность мультиметра (у бюджетных моделей около 0,5% плюс несколько единиц младшего разряда на постоянном напряжении), внутреннее сопротивление прибора на диапазоне mA (от нескольких ом до 10 Ω; оно включено последовательно с ветвью и немного уменьшает ток) и изменение прямого напряжения светодиода с температурой. На диапазоне напряжения входное сопротивление мультиметра обычно 10 MΩ, поэтому в цепях с сопротивлениями порядка kΩ его влиянием можно пренебречь. Если расхождение больше 10%, возможно, неправильно прочитан номинал резистора, ослабло соединение или перепутаны ряды макетной платы; сверься со схемой внутренних соединений в статье Что такое макетная плата?.

Где пригодятся законы Кирхгофа? Идеи проектов

• Бюджет питания: сложи токи всех модулей проекта (ЗТК) и проверь, потянет ли их блок питания или батарейка; время работы оцени с помощью калькулятора времени работы от батареи.
• Вольтметр на Arduino: собери делитель напряжения для измерения 0–25 V и учти нагрузку аналогового входа по ЗТК; шаги — в статье Вольтметр на Arduino.
• Панель из нескольких светодиодов: дай каждому светодиоду свой резистор, посчитай общий ток и проверь, что он не выходит за пределы возможностей пина и стабилизатора.
• Измеритель освещённости на фоторезисторе: фоторезистор (LDR) и постоянный резистор образуют делитель напряжения; по измеренному напряжению с помощью ЗНК вычисли сопротивление фоторезистора (датчик освещённости на фоторезисторе (LDR)).
• Мост Уитстона: в мосте из четырёх резисторов напряжение между двумя средними точками равно нулю, когда R1 / R2 = R3 / R4; на этом принципе работают тензодатчики (тензодатчик с HX711).
• Измерение тока с помощью шунта: включи в линию нагрузки маленький резистор, например 1 Ω, измерь напряжение на нём и найди ток цепи по формуле I = V / R; для больших токов лучше подойдёт датчик тока ACS712.

Частые ошибки студентов и как их исправить

• Смена правила знаков посреди контура: если одно падение записать с минусом, а другое с плюсом, уравнение сломается. Выбери направление обхода в начале и придерживайся правила из таблицы.
• Отрицательный ток принимается за ошибку: ток, который получился отрицательным, просто течёт в другую сторону. Решать схему заново не нужно; используй значение со знаком.
• Лишние или повторяющиеся уравнения: ЗТК для всех n узлов не добавляет независимого уравнения. Ограничься n − 1 уравнениями ЗТК и b − n + 1 уравнениями ЗНК и не записывай один и тот же контур дважды.
• Путаница с единицами: омы, умноженные на миллиамперы, дают милливольты, а не вольты. Записывай всё либо в V, A и Ω, либо в V, mA и kΩ.
• Светодиод считается резистором: у светодиода нет постоянного сопротивления; в проводящем состоянии он ведёт себя как почти постоянное падение напряжения (1,8–2,2 V у красного). В ЗНК записывай его как −Vf.
• Источник считается идеальным: 5 V от USB обычно где-то между 4,75 и 5,25 V, а у батарейки есть внутреннее сопротивление. В расчётах используй измеренное значение вместо 5 V.
• Забытая общая земля: если GND двух цепей с разными источниками питания не соединены, у них нет общей точки отсчёта и измерения теряют смысл. Подробности — в статье GND и общая земля.
• Амперметр подключён параллельно, а вольтметр последовательно: ток всегда измеряется последовательно, с разрывом цепи, а напряжение — всегда параллельно, на выводах элемента.

Законы Кирхгофа — всего две фразы, но они лежат в основе всего, что рассчитывается в электронике: ток не пропадает в узле, а напряжения в контуре в сумме дают ноль. Вместе с законом Ома они позволяют пошагово разобрать любую задачу — от резисторов для светодиодов и нагруженных делителей напряжения до цепей с двумя источниками и бюджета питания. Если хочется попробовать изученное на настоящей схеме, загляни в проекты со светодиодом, измерением освещённости на фоторезисторе и цифровым вольтметром с LCD-дисплеем в приложении BlueGrays. В каждом пошагово разобраны схема подключения и код, так что можно держать мультиметр под рукой и сравнивать показания с расчётами из этой статьи.